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第一部分 考試說(shuō)明
一、考試性質(zhì)
空間解析幾何與高等代數是為全國碩士研究生入學(xué)考試數學(xué)系各專(zhuān)業(yè)設置的課程，它的評價(jià)標準是高等學(xué)校優(yōu)秀本科畢業(yè)生能達到及格及以上水平。
二、考試范圍
多項式理論、行列式、線(xiàn)性方程組、矩陣、二次型、線(xiàn)性空間、線(xiàn)性變換、歐氏空間、以及平面與空間直線(xiàn)、空間曲線(xiàn)與二次曲面。
三、考試形式與試卷結構
(一)答卷方式：閉卷，筆試;所列題目全部為必答題。
(二)答題時(shí)間：180分鐘。
(三)各部分的考查比例：
高等代數部分約80%，
空間解析幾何部分約20%.
(四)題型類(lèi)型
計算題和證明題
第二部分 考查要點(diǎn)
一、多項式理論
理解數域P上一元多項式的定義、多項式相乘、次數、一元多項式環(huán)等概念，整除的定義，兩個(gè)(或若干個(gè))多項式的最大公因式，互素等概念及性質(zhì)，不可約多項式的定義及性質(zhì)，多項式與多項式函數的關(guān)系，代數基本定理，有理系數多項式的分解與整系數多項式分解的關(guān)系，多元多項式、對稱(chēng)多項式的定義。
掌握多項式的運算及運算律，能用輾轉相除法求兩個(gè)多項式的最大公因式，理解不可約多項式的定義及性質(zhì)，標準分解式，k重因式，多項式函數的概念、余數定理、多項式的根及性質(zhì)，對稱(chēng)多項式基本定理。
了解帶余除法及整除的性質(zhì)，因式分解及唯一性定理，復(實(shí))系數多項式分解定理及標準分解式，本原多項式的定義、高斯(Gauss)引理、整系數多項式的有理根的性質(zhì)、愛(ài)森斯坦(Eisenstein)判別法。
二、行列式
1、理解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)，拉普拉斯(Laplace)定理及行列式的乘法法則。
2、會(huì )應用行列式概念和基本性質(zhì)計算行列式，能夠熟練掌握行列式按行(列)展開(kāi)定理，能夠運用遞推公式計算一些經(jīng)典類(lèi)型的行列式。
三、線(xiàn)性方程組
1、理解n維向量、向量的線(xiàn)性組合與線(xiàn)性表示等概念。
2、理解向量組線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)性無(wú)關(guān)的定義、熟練掌握判斷向量組線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)性無(wú)關(guān)的方法。
3、理解向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組和向量組的秩的概念，會(huì )求向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組及秩。
4、理解向量組等價(jià)的概念、向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系。
5、會(huì )用克萊姆(Cramer)法則求解線(xiàn)性方程組。
6、掌握齊次線(xiàn)性方程組與非齊次線(xiàn)性方程組的解的判定定理
7、熟練掌握齊次線(xiàn)性方程組的基礎解系、通解及解空間的概念，掌握齊次線(xiàn)性方程組的基礎解系和通解的求法。
8、掌握非齊次線(xiàn)性方程組解的結構及通解的概念及求法。
9、掌握用初等行變換求解線(xiàn)性方程組的方法。
四、矩陣
1、理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱(chēng)矩陣和反對稱(chēng)矩陣，熟悉它們的基本性質(zhì)。
2、掌握矩陣的數乘、加法、乘法、轉置等運算。了解方陣的多項式概念。
3、理解逆矩陣的概念，掌握可逆矩陣的性質(zhì)，以及矩陣可逆的判別條件，理解伴隨矩陣的概念和性質(zhì)，會(huì )用伴隨矩陣求逆矩陣。
4、掌握矩陣的初等變換、初等矩陣的性質(zhì)和矩陣等價(jià)的條件，理解矩陣的秩的概念，了解矩陣的秩與行列式的關(guān)系。了解矩陣乘積的秩與因子矩陣的秩的關(guān)系，了解n階方陣非退化的概念及充分必要條件，熟練掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。
5、熟悉分塊矩陣及分塊初等變換的概念和性質(zhì)。
五、二次型
1、掌握二次型及其矩陣表示，理解非退化線(xiàn)性替換與矩陣合同的概念及性質(zhì)，清楚二次型的非退化線(xiàn)性替換與二次型矩陣合同的關(guān)系。
2、熟練掌握二次型的標準形、秩、規范形的概念以及慣性定理，理解復對稱(chēng)矩陣合同的充分必要條件。
3、會(huì )用配方法化二次型為標準形。
4、掌握二次型及實(shí)對稱(chēng)矩陣正定的概念及性質(zhì)，掌握二次型及實(shí)對稱(chēng)矩陣正定的判別法。
六、線(xiàn)性空間
1、熟悉集合與映射的概念。
2、理解線(xiàn)性空間的概念掌握線(xiàn)性子空間的判定方法。
3、掌握線(xiàn)性空間的維數、基和坐標等基本概念和性質(zhì)。
4、掌握線(xiàn)性空間的基變換公式和坐標變換與過(guò)渡矩陣的關(guān)系。
5、理解生成子空間的概念，掌握求子空間基和維數的方法。
6、掌握子空間的交、和、直和運算及其性質(zhì)。
七、線(xiàn)性變換
1、掌握線(xiàn)性變換的概念、基本性質(zhì)及運算。
2、理解線(xiàn)性變換的矩陣，了解線(xiàn)性變換與矩陣的對應關(guān)系。
3、掌握線(xiàn)性變換及其矩陣的特征值、特征向量、特征多項式的概念及性質(zhì)，能夠熟練地求解線(xiàn)性變換及矩陣的特征值和特征向量。
4、了解關(guān)于特征多項式的哈密爾頓-凱萊(Hamilton-Caylay)定理，了解矩陣的跡。
5、把握線(xiàn)性變換的特征子空間、線(xiàn)性變換的不變子空間的概念。
6、掌握矩陣相似的概念、性質(zhì)及矩陣可對角化的充分必要條件。熟悉將矩陣和線(xiàn)性變換對角化的方法。
7、理解線(xiàn)性變換的值域、核、秩、零度的概念，并掌握求線(xiàn)性變換的值域與核的基和維數的方法。
8、掌握矩陣的若當(Jordan)標準型和最小多項式的概念和理論。
八、歐氏空間
1、掌握線(xiàn)性空間內積、向量的正交、歐幾里德空間等基本概念及性質(zhì)。
2、理解正交變換和正交矩陣的關(guān)系，歐幾里德空間中過(guò)渡矩陣的特殊性。
3、理解和掌握標準(規范)正交基的概念，掌握標準(規范)正交基的求法(施密特(Schimidt)正交化過(guò)程)，了解標準正交基下度量矩陣、向量坐標及內積的特殊表達。
4、掌握正交矩陣的概念及性質(zhì)，了解正交矩陣與標準正交基的過(guò)渡矩陣之間的關(guān)系。
5、理解和掌握正交變換、對稱(chēng)變換的概念及其性質(zhì)，了解正交變換和正交矩陣，對稱(chēng)變換與對稱(chēng)矩陣之間的關(guān)系。
6、理解正交子空間、正交補的概念及性質(zhì)。
7、熟練掌握對稱(chēng)矩陣的特征值和特征向量的特殊性質(zhì)，對給定的實(shí)對稱(chēng)矩陣A會(huì )求正交矩陣T使T′AT成為對角矩陣。
九、λ-矩陣
1、熟練掌握λ-矩陣的基本理論，會(huì )求λ-矩陣的標準形、 行列式因子、不變因子、初等因子。
2、掌握矩陣相似的條件，并能利用λ矩陣理論解決若當標準形的問(wèn)題。
十、平面與空間直線(xiàn)
1、熟練掌握向量代數中的各種運算。
2、熟練掌握平面與空間直線(xiàn)方程的各種形式，能根據已知條件建立平面與空間直線(xiàn)的方程
3、熟悉判定點(diǎn)與平面、空間兩直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系
4、熟練計算兩直線(xiàn) 、直線(xiàn)與平面、兩平面間的交角、兩異面直線(xiàn)的距離及公垂線(xiàn)方程。
十一、空間曲線(xiàn)與二次曲面
1、要求考生熟練掌握曲面與曲線(xiàn)的定義，空間曲線(xiàn)的投影與投影柱面。
2、掌握常見(jiàn)的二次曲面的標準方程、形狀、作圖及單葉雙曲面、雙曲拋物面的直母線(xiàn)方程及其性質(zhì)。
3、掌握直線(xiàn)與一般二次曲線(xiàn)相交，并對一般二次曲線(xiàn)進(jìn)行理論研究的方法，根據二次曲線(xiàn)標準方程將二次曲線(xiàn)分類(lèi)，從而使二次曲線(xiàn)的幾何理論與代數理論自然聯(lián)系在一起，達到用代數方法研究幾何理論的目的。
原標題：數理學(xué)院2025年碩士研究生入學(xué)考試初試復試考試大綱見(jiàn)附件
文章來(lái)源：https://slxy.cug.edu.cn/info/1034/7490.htm
